C语言复习 进制转换

0. 核心规律与速查表

0.1 幂关系快捷转（必背）

• 二进制 → 八进制：因为 (8 = 2^3)
  ⇒ 每 3 位二进制 ⇄ 1 位八进制
• 二进制 → 十六进制：因为 (16 = 2^4)
  ⇒ 每 4 位二进制 ⇄ 1 位十六进制

口诀：“二转八看3位，二转十六看4位”

0.2 八进制/十六进制数字表（建议背熟）

八进制一位 ⇄ 二进制三位

十六进制一位 ⇄ 二进制四位

1. 二转八（B → O）

1.1 规则

因为 (8=2^3)，所以：

• 整数部分：从右往左每 3 位一组，不足左侧补 0
• 小数部分：从左往右每 3 位一组，不足右侧补 0

补 0 方向一定要对：
整数补左边，小数补右边。

1.2 例题

题：((101110111.110100)_2 = (?)_8)

分组：

• 整数：101110111 → 101 110 111
• 小数：.110100 → .110 100

逐组换：

• 101=5，110=6，111=7
• .110=6，100=4

所以：
[
(101110111.110100)_2 = (567.64)_8
]

1.3 补 0 示例

题：((11011.101)_2 = (?)_8)

• 整数 11011 → 11 011 → 左补 0：011 011
• 小数 .101 已够 3 位

[
(011\ 011.101)_2 = (33.5)_8
]

2. 二转十六（B → H）

2.1 规则

因为 (16=2^4)，所以：

• 整数部分：从右往左每 4 位一组，不足左侧补 0
• 小数部分：从左往右每 4 位一组，不足右侧补 0

2.2 例题

题：((000101110111.1101)2 = (?){16})

分组：

• 整数：000101110111 → 0001 0111 0111
• 小数：.1101 → .1101

逐组换：

• 0001=1，0111=7，0111=7
• 1101=13=D

所以：
[
(000101110111.1101)2 = (177.D){16}
]

2.3 补 0 示例

题：((101011.11)2 = (?){16})

• 整数 101011 → 10 1011 → 左补 0：0010 1011
• 小数 .11 → 右补 0：.1100

[
(0010\ 1011.1100)2 = (2B.C){16}
]

3. 十转二（D → B）

十进制转二进制分两块：

• 整数部分：除 2 取余（倒着写）
• 小数部分：乘 2 取整（顺着写）

3.1 整数部分：除 2 取余法

题：((124)_{10}=(?)_2)

倒序余数：1111100

[
(124)_{10} = (1111100)_2
]

3.2 小数部分：乘 2 取整法

题：((0.25)_{10}=(?)_2)

得到：.01

[
(0.25)_{10} = (0.01)_2
]

3.3 合并例题

[
(124.25)_{10} = (1111100.01)_2
]

3.4 提醒：小数可能无限循环

例如 (0.1_{10}) 转二进制是循环小数，题目常要求：

• “保留 n 位”
• 或写出循环形式

4. 十转八（D → O）

十转八分两块：

• 整数：除 8 取余（倒写）
• 小数：乘 8 取整（顺写）

4.1 整数部分：除 8 取余

题：((124)_{10}=(?)_8)

倒序：174

[
(124)_{10} = (174)_8
]

4.2 小数部分：乘 8 取整

题：((0.25)_{10}=(?)_8)

得到：.2

[
(0.25)_{10} = (0.2)_8
]

4.3 合并

[
(124.25)_{10} = (174.2)_8
]

5. 八转二（O → B）

5.1 规则（最简单）

八进制每 1 位对应二进制 3 位，直接逐位替换即可：

• 整数部分从左到右替换
• 小数部分从左到右替换

注意：中间位可以保留前导 0；
最终写答案时，整数部分可以去掉最左侧多余 0。

5.2 例题（与前面二转八互相验证）

题：((567.64)_8 = (?)_2)

逐位替换：

• 5 → 101
• 6 → 110
• 7 → 111
• .6 → .110
• 4 → 100

所以：
[
(567.64)_8 = (101110111.110100)_2
]

5.3 再来一个（含前导0情况）

题：((03.5)_8 = (?)_2)

• 0 → 000
• 3 → 011
• .5 → .101

[
(03.5)_8 = (000011.101)_2 = (11.101)_2
]

6. 十六转二（H → B）

6.1 规则

十六进制每 1 位对应二进制 4 位，直接逐位替换即可。

6.2 例题（与前面二转十六互相验证）

题：((177.D)_{16}=(?)_2)

逐位替换：

• 1 → 0001
• 7 → 0111
• 7 → 0111
• .D → .1101

[
(177.D)_{16} = (000101110111.1101)_2
]

6.3 例题（全字母）

题：((2B.C)_{16}=(?)_2)

• 2 → 0010
• B → 1011
• .C → .1100

[
(2B.C)_{16} = (00101011.1100)_2
]

7. 八十六（O ↔ H）互转技巧

7.1 通用且最稳的方法：走二进制中转

• (O \to B)：每位 3 bit
• (H \to B)：每位 4 bit
• 然后 (B) 再分组转回来

不推荐直接“八 ↔ 十六”硬算，因为没有直接位对位关系；走二进制最省心。

7.2 示例：((256.4)8 \to (?){16})

1) 先八转二：
[
(256.4)_8 = (010\ 101\ 110.100)_2 = (10101110.100)_2
]

2) 再二转十六（4位分组）：

• 整数 10101110 → 1010 1110 → AE
• 小数 .100 → 补0成 .1000 → 8

[
(256.4)8 = (AE.8){16}
]

8. 任意进制互转（通用方法）

这一节解决：(b) 进制 ↔ (c) 进制（不一定是 2/8/16）

8.1 任意进制 (b) → 十进制（权展开法）

若
[
(an a{n-1}\dots a0 . a{-1} a_{-2}\dots)b
]
则
[
\sum{k=0}^{n} ak \cdot b^k + \sum{k=1}^{m} a_{-k} \cdot b^{-k}
]

示例：((1A3.F)_{16}) 转十进制

• 整数：(1\cdot 16^2 + 10\cdot 16^1 + 3\cdot 16^0 = 256 + 160 + 3 = 419)
• 小数：(F\cdot 16^{-1} = 15/16 = 0.9375)

[
(1A3.F){16} = (419.9375){10}
]

8.2 十进制 → 任意进制 (b)

8.2.1 整数部分：除 (b) 取余（倒写）

与“十转二/十转八”同理，把 2 或 8 换成基数 (b)。

8.2.2 小数部分：乘 (b) 取整（顺写）

与“十转二/十转八”同理，把 2 或 8 换成基数 (b)。

示例：((83.4)_{10}) 转五进制（保留 6 位五进制小数）

整数 83 → 5 进制：除5取余

• 83 ÷ 5 = 16 余 3
• 16 ÷ 5 = 3 余 1
• 3 ÷ 5 = 0 余 3
  倒序：313

小数 0.4 → 5 进制：乘5取整

• 0.4×5=2.0 取2，小数=0
  所以小数=.2

[
(83.4)_{10} = (313.2)_5
]

8.3 任意进制 (b) → 任意进制 (c)（两段法）

最通用：

1) 先 (b \to 10)
2) 再 (10 \to c)

如果目标是 8 或 16，也可以：(b\to 10\to 2\to 8/16)，看题目哪个更顺。

8.4 数字符号范围（常见：2~36进制）

• 0~9 表示 0~9
• A~Z 表示 10~35
  例如：Z = 35

9. 负数表示：原码/反码/补码（两位补码）

这一节一定要先明确“位宽 n”（8位/16位/32位……）
因为同一个负数在不同位宽下的二进制表示不一样（高位会进行符号扩展）。

9.1 三种表示法对比（n 位）

设最高位为符号位（0正1负），其余 (n-1) 位表示数值。

9.1.1 原码（Sign-Magnitude）

• 正数：符号位 0 + 绝对值二进制
• 负数：符号位 1 + 绝对值二进制
• 缺点：+0 和 -0 两个零，加减不方便

范围（n位）：
[
-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)
]

9.1.2 反码（One's Complement）

• 正数：同原码
• 负数：在原码基础上，符号位不变，其余位按位取反
• 缺点：仍有 +0 和 -0

范围同原码。

9.1.3 补码（Two's Complement，最常用）

• 正数：与原码相同
• 负数：绝对值的二进制（n位）→ 按位取反 → +1

特点：

• 只有一个 0
• 加减法统一用加法器实现（硬件友好）

范围（n位补码）：
[
-2^{n-1} \sim 2^{n-1}-1
]

9.2 十进制负数 → n 位补码（最常考步骤）

要写 (-x) 的 n 位补码：

1. 写出 (x) 的 n位二进制（不足补0）
2. 按位取反
3. 加 1（只保留 n 位）

例：求 8 位补码表示 (-37)

1) (+37) 的 8 位二进制：
37 = 32 + 4 + 1 → 0010 0101

2) 取反：1101 1010

3) +1：1101 1011

所以：
[
(-37)_{10} \text{ 的 8 位补码} = (11011011)_2
]

9.3 n 位补码 → 十进制（读数方法）

给你一个 n 位补码二进制，求十进制值：

• 最高位=0：就是普通二进制值（正数）
• 最高位=1：是负数，步骤：
  1) 全部位取反
  2) +1
  3) 得到绝对值，再加负号

例：8 位补码 1110 1011 转十进制

最高位是 1 → 负数
取反：0001 0100
+1：0001 0101 = 21
所以原数 = -21

9.4 符号扩展（Sign Extension）

当你把 n 位补码扩成更宽位数（比如 8 位 → 16 位）时：

• 正数：高位补 0
• 负数：高位补 1（补符号位）

例：8 位 11011011（-37）扩成 16 位：
[
11011011 \Rightarrow 11111111\ 11011011
]
即十六进制：0xFFDB

9.5 补码加减法与溢出（了解即可）

• (a - b) 可以写成：(a + (-b))
• 补码加法：直接相加，丢弃最高位进位（carry out）
• 溢出判断（同号相加异号结果）：
  • 两个正数相加得到负数 → 溢出
  • 两个负数相加得到正数 → 溢出

10. 补码与八/十六进制互转

10.1 原则：补码转八/十六 = “按位分组”，但要先明确位宽

补码本质是一串二进制位。

• 转十六：每 4 位一组
• 转八：每 3 位一组

关键点：位数凑不齐时不能随便补 0，要做“符号扩展补位”

• 正数补 0
• 负数补 1

10.2 示例：8 位补码 -37 转十六

已知：((-37)) 的 8 位补码是 11011011

分组 4 位：1101 1011 → D B

[
(-37){10} \text{（8位补码）} = (DB){16}
]

注意：DB 不是十六进制的“负号写法”，它是“在 8 位补码位宽下”的机器表示。

10.3 示例：8 位补码 -37 转八（需要先符号扩展凑 3 的倍数）

8 位是 3 的倍数吗？不是。
为了按 3 位分组，我们可以扩展到 9 位（符号扩展）：

• 原：11011011（负数，符号位 1）
• 扩到 9 位：1 11011011 → 111011011

分组：111 011 011 → 7 3 3

[
(-37)_{10} \text{（用9位补码表达）} = (733)_8
]

同一个数，如果位宽不同，对应的八/十六表示也会变。
题目如果没说明位宽，一般默认 8 位/16 位。

10.4 从十六进制“机器码”读回十进制

例：给出 16 位十六进制 FFDB，问它表示的有符号十进制是多少？

1) 转二进制：
FFDB → 1111 1111 1101 1011

2) 最高位 1 → 负数，取反+1：

• 取反：0000 0000 0010 0100
• +1：0000 0000 0010 0101 = 37

所以表示：-37

11. 常见易错点

1. 分组方向：整数从右往左，小数从左往右
2. 补0方向：整数补左边，小数补右边
3. 十六进制字母：A~F 对应 10~15
4. 除法法则：除基取余，余数倒序
5. 乘法法则：乘基取整，整数顺序
6. 循环小数：十进制小数不一定能有限位表示
7. 补码一定要看位宽：同一负数在 8/16/32 位下机器码不同
8. 补码转八进制补位不能补0：负数要符号扩展补1

12. 练习题（含答案）

12.1 八转二

1) ((735.4)_8) 转二进制
答案：
7→111，3→011，5→101，.4→.100
[
(735.4)_8 = (111011101.100)_2
]

12.2 十六转二

1) ((3A7.F){16}) 转二进制
答案：
3→0011，A→1010，7→0111，.F→.1111
[
(3A7.F){16}=(001110100111.1111)_2
]

12.3 任意进制互转

1) ((1011.01)_2) 转十进制
答案：
(1011_2=11)，(.01_2=1/4=0.25) → 11.25

2) ((1A3.F)_{16}) 转十进制
答案： 419.9375（见第 8.1 节）

3) ((83.4)_{10}) 转五进制
答案： ((313.2)_5)（见第 8.2 节）

12.4 补码题

1) 写出 (-21) 的 8 位补码
答案：
+21 = 00010101
取反 11101010
+1 → 11101011

2) 把 8 位补码 11101011 转回十进制
答案： -21（取反+1 得 21）

3) 16 位十六进制机器码 FFDB 表示的有符号十进制是多少？
答案： -37（见第 10.4 节）